O mundo da matemática, por mais fascinante que seja, também é complicadoMas talvez graças à sua complexidade, possamos lidar com o dia a dia de forma mais eficaz e eficiente.
Técnicas de contagem são métodos matemáticos que permitem saber quantas combinações ou opções diferentes você tem de itens no mesmo grupo de objetos.
Essas técnicas tornam muito fácil saber quantas maneiras diferentes de criar sequências ou combinações de objetos, sem perder a paciência ou o bom senso. Vamos dar uma olhada em quais são e quais são mais usados.
Técnicas de contagem: o que são?
Técnicas de contagem são estratégias matemáticas usadas em probabilidade e estatística para determinar o número total de resultados que podem ser obtidos fazendo combinações em um conjunto ou conjuntos de objetos. Esses tipos de técnicas são usados quando é praticamente impossível ou muito complicado fazer manualmente combinações de diferentes elementos e saber quantos deles são possíveis.
Este conceito é mais facilmente compreendido por meio de um exemplo. Se você tiver quatro cadeiras, uma amarela, uma vermelha, uma azul e uma verde, quantas combinações de três delas podem ser classificadas 1h00 no outro lado?
Esse problema poderia ser resolvido fazendo-o manualmente, pensando em combinações como azul, vermelho e amarelo; azul, amarelo e vermelho; vermelho, azul e amarelo, vermelho, amarelo e azul … Mas pode exigir muita paciência e tempo, por isso usaríamos técnicas de contagem, sendo para este caso necessária uma permutação.
Os cinco tipos de técnicas de contagem
As principais técnicas de contagem são as cinco, Embora estes não sejam os únicos, cada um com suas peculiaridades e usados conforme necessário para descobrir quantas combinações de conjuntos de objetos são possíveis.
De fato, esses tipos de técnicas podem ser divididos em dois grupos, dependendo de sua complexidade, um consistindo no princípio multiplicador e no princípio aditivo, e o outro consistindo em combinações e permutações.
1. Princípio multiplicativo
Este tipo de técnica de contagem, associada ao princípio aditivo, torna mais fácil e prático o entendimento do funcionamento desses métodos matemáticos.
Se um evento, digamos N1, pode ocorrer de mais de uma maneira, e outro evento, N2, pode ocorrer em tantas, então os eventos juntos podem ocorrer nas formas N1 x N2.
Este princípio é utilizado quando a ação é sequencial, ou seja, é composta por eventos que ocorrem de forma ordenada, como a construção de uma casa, a escolha dos passos de dança em uma noite de caixa ou o comando vai continuar a assar um bolo.
Por exemplo:
Em um restaurante, o cardápio é composto por um prato principal, um prato principal e uma sobremesa. Para os pratos principais temos 4, para os pratos principais temos 5 e para as sobremesas temos 3.
Portanto, N1 = 4; N2 = 5 e N3 = 3.
As combinações oferecidas por este menu seriam, portanto, 4 x 5 x 3 = 60
2. Princípios aditivos
Nesse caso, em vez de multiplicar as alternativas para cada evento, o que acontece é que se somam as diferentes formas como podem ocorrer.
Isso significa que se a primeira atividade pode ocorrer nas formas M, a segunda de N e a terceira L, então de acordo com este princípio seria M + N + L.
Por exemplo:
Queremos comprar chocolate, existem três marcas no supermercado: A, B e C.
O Chocolate A é vendido em três sabores: escuro, com leite e branco, além de ter a opção sem ou com açúcar para cada um deles.
O chocolate B é comercializado em três sabores, escuro, com leite ou branco, podendo ter ou não avelãs e com ou sem açúcar.
O chocolate C é vendido em três sabores, escuro, com leite e branco, com opção de ter ou não avelãs, amendoins, caramelo ou amêndoas, mas todos com açúcar.
Com base nisso, a pergunta a ser respondida é: quantas variedades diferentes de chocolate você pode comprar?
W = número de maneiras de selecionar o chocolate A.
I = número de maneiras de selecionar o chocolate B.
Z = número de maneiras de selecionar o chocolate C.
O próximo passo é uma multiplicação simples.
W = 3 x 2 = 6.
I = 3 x 2 x 2 = 12.
Z = 3 x 5 = 15.
W + I + Z = 6 + 12 + 15 = 33 variedades diferentes de chocolate.
Para saber se se deve utilizar o princípio multiplicativo ou o aditivo, a principal pista é se a atividade em questão envolve uma série de etapas a serem realizadas, como foi o caso do cardápio, ou se existem várias opções, como é o caso com Chocolat.
3. Permutações
Antes de entender como fazer permutações, é importante entender a diferença entre uma combinação e uma permutação.
Uma combinação é um arranjo de itens cuja ordem não é importante ou não altera o resultado final.
Em vez disso, em uma permutação, haveria um arranjo de vários elementos em que é importante considerar sua ordem ou posição.
Em permutações, há vários elementos diferentes e vários deles são selecionados, o que seria r.
A fórmula a ser usada seria: NPR = n! / (Não)!
Por exemplo:
Há um grupo de 10 pessoas e há um assento que acomoda apenas 5 pessoas, de quantas maneiras eles podem se sentar?
O seguinte seria feito:
10P5 = 10! / (10-5)! = 10 x 9 x 8 x 7 x 6 = 30.240 maneiras diferentes de ocupar o banco.
4. Permutações com repetição
Quando queremos saber o número de permutações em um conjunto de objetos, alguns dos quais são iguais, fazemos o seguinte:
Como n são os itens disponíveis, alguns deles se repetem.
Todos os n elementos são selecionados.
A fórmula se aplica: = n! / N1! N 2! … nk!
Por exemplo:
Em um barco, podem ser hasteadas 3 bandeiras vermelhas, 2 amarelas e 5 verdes. Quantos sinais diferentes podem ser dados içando as 10 bandeiras que você tem?
dez! / 3! 2! 5! = 2520 combinações de bandeiras diferentes.
5. Combinações
Em combinações, ao contrário das permutações, a ordem dos elementos não é importante.
A fórmula a ser aplicada é: NCR = n! / (Não)! R!
Por exemplo:
Um grupo de 10 pessoas quer limpar o bairro e se preparar para formar grupos de 2 membros cada, quantos grupos são possíveis?
Neste caso, n = 10 e r = 2, aplicando a fórmula:
10C2 = 10! / (10-2)! 2! = 180 pares diferentes.
Referências bibliográficas:
- Brualdi, RA (2010), Introductory Combinatorics (5ª ed.), Pearson Prentice Hall.
- de Finetti, B. (1970). “Fundamentos lógicos e medida de probabilidade subjetiva”. Acta Psychologica.
- Hogg, RV; Craig, Allen; McKean, Joseph W. (2004). Introdução à estatística matemática (6ª ed.). Upper Saddle River: Pearson.
- Mazur, DR (2010), Combinatorics: A Guided Tour, Mathematical Association of America,
- Ryser, HJ (1963), Combinatorial Mathematics, The Mathematical Monographs of Carus 14, Mathematical Association of America.
